matrices y determinantes 2 bachillerato

Matrices Ejercicios resueltos

Matrices ejercicios resueltos paso a paso matemáticas 2 bachillerato y universidad , aprenderemos desde cero , tipos de matrices , operaciones con matrices , producto , potencia , sistemas de ecuaciones , rango de una matriz

MATRICES 

Nomenclatura de matrices y tipos

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¿Qué es una matriz?

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Es un conjunto de números ordenados en filas y columnas

Dimensiones de una matriz

Las dimensiones de una matriz se expresan como FilasxColumnas ( truco FerroCarril)

Ejemplo Ver vídeo

ejercicio resuelto para calcular las dimensiones de una matriz

 

Elementos de una matriz

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Son los números que componen la matriz, su notación es aij , siendo i el número de fila y j el número de columna

ejercicio resuelto para calcular los elementos de una matriz aij

Tipos de matrices

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Matriz nula. Todos los elementos de la matriz son cero

Matriz fila solo tiene una fila

Matriz columna Solo tiene una columna

Matriz Rectangular Tiene distinto número de filas que de columnas

Matriz cuadrada Tiene el mismo número de filas que de columnas , se dice que tiene orden n

Vamos a ver mejor los tipos de matrices en un cuadro resumen

cuadro con tipos de matrices matriz nula matriz columna fila rectangular y cuadrada con ejemplos

Tipos de matrices cuadradas

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Dentro de las matrices cuadradas hay los siguientes tipos :

Matriz Triangular Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los términos situados por debajo ( triangular superior ) o por encima ( triangular inferior ) de la diagonal principal

Matriz diagonal Es una matriz cuadrada en que todos los términos que NO están en la diagonal principal son cero

Matriz escalar Es una matriz diagonal en que todos los términos de la diagonal principal son iguales

Matriz identidad o unidad

Es una matriz diagonal en que todos los términos de la diagonal principal son unos

vamos a hacer un cuadro resumen

tipos de matrices cuadradas , triangulares , identidad , escalares con ejemplos

Matriz simétrica y antisimétrica

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Matriz simétrica Es una matriz cuadrada donde los elementos simétricos respecto a la diagonal principal son iguales

Matriz Antisimétrica o hemisimétrica Es una matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son cero y los simétricos respecto a la diagonal principal son iguales pero de signo opuesto

vamos a verlo con un cuadro resumen

ejemplos de matrices simétrica y antisimétrica

Matriz transpuesta At

Se obtiene cambiando las filas por columnas

Ejemplo ver solución

ejercicio resuelto matriz traspuesta

Operaciones con matrices

Suma y resta de matrices

Para sumar y restar matrices las matrices tienen que tener las mismas dimensiones, (es muy intuitivo)

Operaciones con matrices ejercicios resueltos

Opera ver solución

operaciones con matrices

 

Producto de un número (escalar) por una matriz

Multiplicamos todos los elementos de la matriz por el número

Ejemplo

Opera ver solución

Sistemas de ecuaciones matriciales

Ejercicio resuelto ver solución

Sistemas de ecuaciones con matricesProducto de matrices

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Antes de aprender a multiplicar matrices vamos a ver dos propiedades Súper importantes del producto de matrices

Propiedad 1 El producto  no es conmutativo

A·B ≠ B·A

 Propiedad 2 Antes de multiplicar  primero siempre tenemos que verificar que se pueden multiplicar, para que se puedan multiplicar , el número de columnas de la primera matriz tiene que ser igual al número de columnas de la segunda matriz

A3×2·B2×4=C3×4

A3×2·B3×2= No se pueden multiplicar

Otras propiedades

(A·B)·C=A·(B·C)

A·(B+C)= A·B +A·C

I·A=A·I=A

Vamos a aprender a multiplicar matrices con un ejemplo,  no es complicado pero si algo lioso, tendremos que cogerle el “ ritmillo” para ello practicaremos

Ejercicios de matrices resueltos Producto

ver solución apartado a

Ver solución apartados b ,c y d

multiplicacion de matrices ejercicios resueltos 2 bachillerato

Ejercicios resueltos operaciones con Matrices 01

ver solución

operaciones con matrices

Calcula cuando sea posible:

a) 2A+3B b) 3A-4C c) A·B

d) A·C e) C·A

Matrices que conmutan

Clásico de examen ver solución

Matrices conmutativas ejercicios resueltos

 

Ejercicio resuelto de multiplicación de matrices EBAU

ver solución

Ejercicios de matrices resueltos

ver solución aparatado a                    ver solución apartado b

 

 

Potencia de Matrices

Importante: Sólo existen potencias de matrices cuadradas

Potencia de una matriz 2×2 ejercicios resueltos

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potencias de matrices 2x2 ejercicios resueltos

Potencia de una matriz 3×3 ejercicios resueltos

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potencias de matrices 3x3 ejercicios resueltos

 

Matrices cíclicas

Ejercicio resuelto ver solución

matrices ciclicas
Ejercicio resuelto en vídeo

Potencia  por recurrencia

Ejercicio resuelto ver solución

Potencia de una matriz por recurrencia

 

 

 

 

Ejercicio resuelto ver solución

potencia de matrices 2 bachillerato

Ejercicio clásico de examen

Ejercicio resuelto ver solución

EJERCICIOS DE EXÁMENES DE MATRICES RESUELTOS

Si pronto tienes examen los siguientes ejercicios están sacados de los exámenes de selectividad EBAU EVAU de los últimos años , así que están genial para practicar de cara a los exámenes 

EJERCICIO RESUELTO  VER SOLUCIÓN

matrices ejercicios resueltos de examenes 2 bachillerato

 

 

 

 

 

Ejercicio resuelto VER SOLUCIÓN 

Sean

EJERCICIO DE 2 BACHILLERATO MATRICES SELECTIVIDAD 2023

 

 

 

Calcular cuando sea posible las matrices C·Bt , Bt·C , B·C donde Bt es la matriz traspuesta de B

 

Ejercicios resuelto VER SOLUCIÓN

mATRICES 2 BACHILLERATO EJERCICIO RESUELTO SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEON 2021

 

 

 

 

 

Ejercicios resueltos VER SOLUCIÓN 

Sea

 

 

 

Calcular A2023  , A2024 , A2025

 

Ejercicio resuelto VER SOLUCIÓN

MATRICES 2 BACHILLERATO EJERCICIO RESUELTO DE EXAMENES SELECTIVIDAD

 

 

 

 

Ejercicio resuelto potencia 

ver solución

 

Rango de una matriz por el método de gauss

Definición El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes, pero lo mejor es ver cómo se calcula mediante unos ejemplos

Rango de una matriz por el método de gauss Ejercicios resueltos 01

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rango de una matriz 2 bachillerato

Rango de una matriz por el método de Gauss Ejercicios resueltos 02

Ver solución

 

Rango de matrices 4×4 ejercicio resuelto

ver solución

Matriz Inversa por el método Gauss-Jordan

Propiedades de la matriz inversa

 ver explicación

Sea A una matriz cuadrada de orden n , entonces existe la matriz inversa de A  <─>Ran(A)=n

Si existe A-1 decimos que A es una matriz regular o inversible

Si no existe A-1 decimos que A es una matriz singular

Propiedad Si A y B son matrices regulares del mismo orden entonces existe (A·B)-1 y       (A·B)-1= B-1· A-1

Propiedad importante Si existe A-1 es única y A· A-1= A-1·A=I

Cálculo de una matriz inversa 2×2 por el método de Gauss-Jordan

Ejemplo 1 Matriz inversa 2×2 por el método Gauss-Jordan

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Ejemplo 2 Matriz inversa 2×2 por el método Gauss-Jordan

ver solución

Calculo de una matriz 3×3 por el método de Gauss-Jordan

Ejemplo 1 Matriz inversa 3×3 por el método Gauss-Jordan

ver solución

 

Ejemplo 2 Matriz inversa 3×3 por el método Gauss-Jordan

ver solución

 

Inversa de una matriz con calculadora Ver vídeo

 

Otros TEMAS que os pueden interesar

 Sistemas de Ecuaciones Método de Gauss

Integrales indefinidas , métodos de integración

 

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Discontinuidad evitable de salto finito e infinito

Método de Gauss Ejercicios Resueltos paso a paso

Equilibrio Químico grado de disociación 2 bachillerato

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