límites funciones varias variables

límites  funciones  varias variables
2.1
Cálculo y existencia de límite de una función de varias variables
MUY IMPORTANTE   si
existe el límite de una función de varias variables este es único
Calcular los siguientes
límites
a) $displaystylelim_{(x,y)
to{(-1,3)}}{frac{2x-y}{x^2+y^2}}$
b) $displaystylelim_{(x,y)
to{(1,1)}}{frac{x+y}{2x+y}}$
c) $displaystylelim_{(x,y)
to{(0,0)}}{(x+y)senleft(frac{pi }{x+y}right)}$
d) $displaystylelim_{(x,y)
to{(0,1)}}{(x^2)cosleft(frac{2x+y }{x}right)}$
2.2
caso (0/0)  en el que podemos factorizar
a)$displaystylelim_{(x,y)
to{(0,0)}}{frac{x^2-y^2}{x+y}}$
b)$displaystylelim_{(x,y) to{(0,0)}}{frac{4x^2-y^2}{2x-y}}$
c)$displaystylelim_{(x,y)
to{(0,0)}}{frac{3x+2y}{9x^2-4y^2}}$
d)$displaystylelim_{(x,y)
to{(0,0)}}{frac{x+y}{x^2+2xy+y^2}}$
2.3
caso (0/0)
Para este caso debemos realizar una serie de
pasos para demostrar la No existencia del límite o la existencia del límite y
su valor. Nos vamos a basar en la propiedad de que si existe el límite este debe de ser único .
2.3.1 limites reiterados o sucesivos en
funciones de varias variables
si $displaystylelim_{x to{a}}{left(displaystylelim_{y to{b}{}}{f(x,y)}right)neqdisplaystylelim_{y to{b}}{left(displaystylelim_{x to{a}{}}{f(x,y)}right)$ $Longrightarrow{}$ no existe el limite
Si $displaystylelim_{x to{a}}{left(displaystylelim_{y to{b}{}}{f(x,y)}right)=displaystylelim_{y to{b}}{left(displaystylelim_{x to{a}{}}{f(x,y)}right)=L$ $Longrightarrow{}$ puede existir el limite y en caso de existir valdria L
Ejemplo1 Calcular
los límites reiterados o sucesivos de los siguientes límites y decir si No
existe el límite o si puede existir el límite
a)$displaystylelim_{(x,y)
to{(0,0)}}{frac{xy}{x^2+y^2}}$
b)$displaystylelim_{(x,y)
to{(0,0)}}{frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$
2.3.2 limites radiales o direccionales
en funciones de varias variables
Si la solución de algún
límite radial o direccional depende de m , entonces no existirá el límite
Ejemplo 1
Calcula los siguientes
límites radiales o direccionales mediante el cambio y= mx de las siguientes
funciones de varias variables en el origen y decir si No existe el límite o si
puede existir el límite .
a)$f(x,y)=frac{3x^2y}{x^2+y^2}$
b)$f(x,y)=frac{2xy}{2x^2+y^2}$
Ejemplo 2
Calcula los siguientes
límites radiales o direccionales mediante el cambio y= mx  e y=mx2 de las siguientes funciones
de varias variables en el origen y decir si No existe el límite o si puede
existir el límite .
a)$f(x,y)=frac{2y^2-x^4}{x^4+y^2}$
Ejemplo 3
Calcula los siguientes
límites radiales o direccionales mediante el cambio  e x=my2 de las siguientes funciones
de varias variables en el origen y decir si No existe el límite o si puede
existir el límite .
a)$f(x,y)=frac{2y^2x}{y^4+2x^2}$
Ejemplo 4
Demostrar que no existe el
siguiente límite
a)$displaystylelim_{(x,y) to{(0,0)}}{frac{3xy}{x^2+2y^2}}$